Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
для розв'язання алгебраїчних задач
Виконала:
студентка V курсу
математичного факультету
С. І. Торопова
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри алгебри та геометрії О. С. Руденко
Рецензент:
Кандидат фізико-математичних наук,
доцент кафедри алгебри і геометрії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Метод заміни змінної при вирішенні завдань .............................. 7
§ 1. Загальні положення ................................................ .................................. 7
§ 2. Тригонометрична підстановка ................................................ ........ 9
Глава 2. Застосування методу тригонометричної підстановки при вирішенні завдань 11
§ 1. Рішення рівнянь ................................................ ............................. 11
1.1 Ірраціональні рівняння ............................................... ............ 11
1.2 Раціональні рівняння ............................................... ................. 23
1.3 Показові рівняння ............................................... ................ 26
§ 2. Рішення систем ................................................ .................................... 27
§ 3. Доведення нерівностей ................................................ ................. 32
§ 4. Завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень
функції ................................................. .................................................. ... 35
§ 5. Рішення задач з параметрами .............................................. .............. 43
Глава 3. Дослідне викладання теми «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» на факультативних заняттях з математики 48
Висновок ................................................. .................................................. . 63
Введення
Рішення задач є найважливішим видом навчальної діяльності, в процесі якої учнями засвоюється математична теорія і розвиваються логічне мислення і творчі здібності. Розвиток творчих здібностей учнів старших класів при навчанні математиці здійснюється більш ефективно при залученні їх у творчу діяльність, яка включає в себе:
1. Усвідомлення, що дана конкретна задача є представник класу однорідних завдань.
2. Відшукування різних варіантів рішення, їх зіставлення, виявлення сильних і слабких сторін кожного способу вирішення з метою вибору з них найбільш раціонального, простого, «витонченого». Порівняння та аналіз різних рішень однієї задачі робить знання більш міцними і свідомими. Встановлено, що вирішення однієї і тієї ж задачі декількома способами приносить більше користі, ніж рішення поспіль такого ж числа стереотипних завдань.
3. Самостійне комбінування відомих способів діяльності.
4. Винахід, принаймні, для даної задачі принципово нового прийому рішення.
Для розвитку творчих здібностей учнів найбільш цінними є складні і нестандартні задачі. Рішення складних завдань з математики багато в чому залежить від досвіду їх вирішення, від ступеня оволодіння методами їх рішення і технікою перетворень. Нестандартні завдання - це завдання, для вирішення яких в учнів немає готового алгоритму і потрібний самостійний пошук ключової ідеї. При вирішенні нестандартних завдань формується математична культура, виховується гнучкість розуму і здійснюється осягнення єдності математики. Ось чому, на думку Д. Пойа, «нестандартні задачі можуть сприяти інтелектуальному розвитку учня, чого не можна сказати про стандартні» [36].
Найважливішим джерелом нестандартних завдань є олімпіадні та конкурсні завдання. Як правило, нестандартні завдання вимагають нестандартного підходу до їх вирішення. Важливо, щоб в учнів було створено запас методів вирішення нестандартних завдань, тому що не завжди школярі можуть самостійно додуматися до нестандартного методу розв'язання.
З точки зору стандартних шкільних методів розв'язання алгебраїчних задач метод тригонометричної підстановки є нестандартним прийомом. З іншого боку, тригонометрична підстановка дозволяє вирішувати складні багатоходові завдання. Вона застосовується при вирішенні таких алгебраїчних задач, які своїми засобами не вирішуються або вирішуються дуже складно.
Учні класів з поглибленим вивченням математики знайомляться з методом тригонометричної підстановки [21], [57] але є сенс у більш детальному й глибокому її вивченні. Необхідність у такому вивченні в класах з поглибленим вивченням математики обумовлена наступними положеннями.
1. Поглиблене вивчення передбачає наповнення курсу різноманітними, цікавими і нестандартними завданнями, які відіграють істотну роль у розвитку творчих здібностей учнів. Застосування тригонометричної підстановки для вирішення завдань дозволяє дати ефективний спосіб вирішення нестандартних олімпіадних завдань [8], [9], [16], [25], [29].
2. Учні класів з поглибленим вивченням математики в умовах серйозного конкурсу на вступних іспитах до ВНЗ з профілюючих вивченням математики опиняться перед необхідністю вирішити важкі і дуже важкі завдання. Неоціненну допомогу в такому рішенні їм може надати метод тригонометричної підстановки [4], [10], [30], [31], [37] - [40], [44], [51], [52].
3. Завдання, які пропонуються до вирішення за допомогою тригонометричної підстановки, базуються на досить високому рівні володіння технікою як алгебраїчних, так і тригонометричних перетворень. Це дозволяє оцінити метод рішення і застосувати його у схожій ситуації.
4. Застосування тригонометричної підстановки привчає учнів до повноти аргументації введення підстановки для вирішення завдань.
5. Застосування тригонометричної підстановки при вирішенні алгебраїчних завдань спрямоване на встановлення взаємозв'язку різних розділів математики, а саме: алгебри і тригонометрії. Важливо виховати в учнів сміливості і винахідливості в пошуку способів вирішення завдань не тільки в найближчому оточенні умови, але і в більш широкій, іноді несподіваної області.
Найбільш доречно організувати роботу, присвячену застосуванню тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач, на факультативних заняттях з математики. При цьому доцільно запропонувати учням для вирішення різноманітні завдання: раціональні та ірраціональні рівняння, нерівності, їх системи, завдання на відшукання найбільшого і найменшого значень функції, завдання з параметрами. Бажано створити таку роботу, яка б містила в собі підбірку з різноманітних алгебраїчних завдань, що вирішуються за допомогою тригонометричної підстановки, не обмежуючись розглядом окремого класу задач.
Мета роботи: розробити методику застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач старшими школярами на факультативних заняттях у класах з поглибленим вивченням математики.
Об'єкт дослідження: процес застосування тригонометричної підстановки як методу вирішення різноманітних алгебраїчних задач.
Предмет дослідження: організація діяльності учнів з оволодіння тригонометричної підстановки на факультативних заняттях у класах з поглибленим вивченням математики.
При дослідженні виходимо з гіпотези, що застосування методики, розробленої на основі порівняльного аналізу рішення великої кількості завдань, дозволить розвинути творчі здібності учнів і підготує їх до вступних іспитів у серйозні вузи.
Для досягнення поставленої мети та перевірки гіпотези необхідно вирішити такі завдання:
1. Виявити теоретичні основи можливості введення тригонометричної підстановки.
2. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
3. На основі проведеного порівняльного аналізу розробити методику вивчення тригонометричної підстановки при вирішенні алгебраїчних задач на факультативних заняттях з математики в старших класах з поглибленим вивченням математики.
4. Провести дослідне випробування ефективності розробленої методики.
Глава 1
Метод заміни змінної при вирішенні завдань
§ 1. Загальні положення
Перехід до нових позначень, заміна невідомих - істотний прийом і метод, який застосовується при рішенні самих різних завдань як елементарної, так і вищої математики. Дуже важливо, щоб цей прийом і метод був міцно засвоєний та освоєно у школі, так як ідея заміни змінної є наскрізною і в тому чи іншому вигляді фігурує практично у всіх розділах шкільної математики.
Існують два підходи до визначення методу заміни змінної. Якщо рівняння
де
На відміну від описаного вище метод рівносильній заміни вимагає знаходження безлічі значень змінної
Такі заміни часом істотно спрощують рішення. Заміна змінних і перехід до нових позначенням полегшують викладки і роблять громіздке вираження алгебри компактним і доступним для огляду. Ось чому слід привчати школярів при вирішенні завдань не поспішати починати перетворення: нехай вони спочатку подивляться, чи не можна записати рівняння простіше, ввівши нову змінну. При цьому не варто забувати, що, по-перше, далеко не завжди заміна буває настільки вже необхідна. По-друге, якщо доводиться вдаватися до заміни невідомою, то варто відразу підібрати її так, щоб вона вбирала в себе якомога більшу кількість неприємних деталей, що ускладнюють рішення.
Вміння вдало ввести нову змінну - найважливіший елемент математичної культури школяра. При цьому мистецтво робити заміну змінних полягає в тому, щоб побачити, яка заміна буде більш раціональною і швидше приведе до успіху.
Нова мінлива іноді очевидна, іноді кілька завуальована, але «відчувається». У більш складних випадках, для того щоб знайти вдалу заміну невідомою, потрібна додаткова творча робота, яка згодом окупається простотою і витонченістю рішення.
Вчити методом заміни, вибору вдалих нових змінних слід спеціально ще й тому, що не завжди учні можуть додуматися до нього самостійно. У таких випадках зручну підстановку бажано знати заздалегідь. Особливо важко учням уявити собі, що замість змінної можна підставити тригонометричну функцію, оскільки при цьому, як здається, алгебраїчний вираз ускладнюється. Проте відомі властивості тригонометричних функцій спрощують деякі рівняння, нерівності та їх системи, в той час як пряме алгебраїчне рішення виявляється більш складним технічно. Таким чином, тригонометричну підстановку можна назвати нестандартним методом вирішення стандартних за постановці завдань - рівнянь, нерівностей та їх систем.
§ 2. Тригонометрична підстановка
Тригонометрична підстановка є одним із способів реалізації методу заміни змінної і використовується в тих випадках, коли область визначення вихідного рівняння збігається з областю значення тригонометричної функції або включається в цю область. Вибір тієї чи іншої функції при цьому залежить від виду рівняння, нерівності, їх систем чи алгебраїчного виразу, яке потрібно спростити.
Якщо з умови задачі випливає, що допустимі значення змінної
У випадках, коли змінна може приймати будь-які дійсні значення, використовуються заміни
Рідше використовуються заміни
Коли вираз залежить від двох змінних
І останнє зауваження. Реалізувати таку підстановку не так уже й важко, головне і, напевно, найскладніше - зуміти її побачити. Тому доцільно допомогти учням навчитися розпізнавати «прикмети» тригонометричних підстановок. Зміст наступного розділу спрямовано на вироблення відповідних умінь.
Глава 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПІДСТАВЛЕННЯ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАДАЧ
§ 1. Рішення рівнянь
1.1 Ірраціональні рівняння
Ірраціональні рівняння часто зустрічаються на вступних іспитах з математики, так як з їх допомогою легко діагностується знання таких понять, як рівносильні перетворення, область визначення та інші. Методи рішення ірраціональних рівнянь, як правило, засновані на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним, яке або рівносильно вихідного ірраціонального рівняння, або є його наслідком. Найчастіше обидві частини рівняння зводять в одну і ту ж ступінь. Еквівалентність не порушується при зведенні обох частин у непарну ступінь. В іншому випадку потрібно перевірка знайдених рішень або оцінка знака обох частин рівняння. Але існують і інші прийоми, які можуть виявитися більш ефективними при вирішенні ірраціональних рівнянь. Наприклад, метод тригонометричної підстановки.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Застосування тригонометричної підстановкидля розв'язання алгебраїчних задач
Виконала:
студентка V курсу
математичного факультету
С. І. Торопова
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри алгебри та геометрії О. С. Руденко
Рецензент:
Кандидат фізико-математичних наук,
доцент кафедри алгебри і геометрії
Є. М. Ковязіна
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Метод заміни змінної при вирішенні завдань .............................. 7
§ 1. Загальні положення ................................................ .................................. 7
§ 2. Тригонометрична підстановка ................................................ ........ 9
Глава 2. Застосування методу тригонометричної підстановки при вирішенні завдань 11
§ 1. Рішення рівнянь ................................................ ............................. 11
1.1 Ірраціональні рівняння ............................................... ............ 11
1.2 Раціональні рівняння ............................................... ................. 23
1.3 Показові рівняння ............................................... ................ 26
§ 2. Рішення систем ................................................ .................................... 27
§ 3. Доведення нерівностей ................................................ ................. 32
§ 4. Завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень
функції ................................................. .................................................. ... 35
§ 5. Рішення задач з параметрами .............................................. .............. 43
Глава 3. Дослідне викладання теми «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» на факультативних заняттях з математики 48
Висновок ................................................. .................................................. . 63
Література ................................................. .................................................. . 65
Додаток ................................................. .................................................. 70Введення
Рішення задач є найважливішим видом навчальної діяльності, в процесі якої учнями засвоюється математична теорія і розвиваються логічне мислення і творчі здібності. Розвиток творчих здібностей учнів старших класів при навчанні математиці здійснюється більш ефективно при залученні їх у творчу діяльність, яка включає в себе:
1. Усвідомлення, що дана конкретна задача є представник класу однорідних завдань.
2. Відшукування різних варіантів рішення, їх зіставлення, виявлення сильних і слабких сторін кожного способу вирішення з метою вибору з них найбільш раціонального, простого, «витонченого». Порівняння та аналіз різних рішень однієї задачі робить знання більш міцними і свідомими. Встановлено, що вирішення однієї і тієї ж задачі декількома способами приносить більше користі, ніж рішення поспіль такого ж числа стереотипних завдань.
3. Самостійне комбінування відомих способів діяльності.
4. Винахід, принаймні, для даної задачі принципово нового прийому рішення.
Для розвитку творчих здібностей учнів найбільш цінними є складні і нестандартні задачі. Рішення складних завдань з математики багато в чому залежить від досвіду їх вирішення, від ступеня оволодіння методами їх рішення і технікою перетворень. Нестандартні завдання - це завдання, для вирішення яких в учнів немає готового алгоритму і потрібний самостійний пошук ключової ідеї. При вирішенні нестандартних завдань формується математична культура, виховується гнучкість розуму і здійснюється осягнення єдності математики. Ось чому, на думку Д. Пойа, «нестандартні задачі можуть сприяти інтелектуальному розвитку учня, чого не можна сказати про стандартні» [36].
Найважливішим джерелом нестандартних завдань є олімпіадні та конкурсні завдання. Як правило, нестандартні завдання вимагають нестандартного підходу до їх вирішення. Важливо, щоб в учнів було створено запас методів вирішення нестандартних завдань, тому що не завжди школярі можуть самостійно додуматися до нестандартного методу розв'язання.
З точки зору стандартних шкільних методів розв'язання алгебраїчних задач метод тригонометричної підстановки є нестандартним прийомом. З іншого боку, тригонометрична підстановка дозволяє вирішувати складні багатоходові завдання. Вона застосовується при вирішенні таких алгебраїчних задач, які своїми засобами не вирішуються або вирішуються дуже складно.
Учні класів з поглибленим вивченням математики знайомляться з методом тригонометричної підстановки [21], [57] але є сенс у більш детальному й глибокому її вивченні. Необхідність у такому вивченні в класах з поглибленим вивченням математики обумовлена наступними положеннями.
1. Поглиблене вивчення передбачає наповнення курсу різноманітними, цікавими і нестандартними завданнями, які відіграють істотну роль у розвитку творчих здібностей учнів. Застосування тригонометричної підстановки для вирішення завдань дозволяє дати ефективний спосіб вирішення нестандартних олімпіадних завдань [8], [9], [16], [25], [29].
2. Учні класів з поглибленим вивченням математики в умовах серйозного конкурсу на вступних іспитах до ВНЗ з профілюючих вивченням математики опиняться перед необхідністю вирішити важкі і дуже важкі завдання. Неоціненну допомогу в такому рішенні їм може надати метод тригонометричної підстановки [4], [10], [30], [31], [37] - [40], [44], [51], [52].
3. Завдання, які пропонуються до вирішення за допомогою тригонометричної підстановки, базуються на досить високому рівні володіння технікою як алгебраїчних, так і тригонометричних перетворень. Це дозволяє оцінити метод рішення і застосувати його у схожій ситуації.
4. Застосування тригонометричної підстановки привчає учнів до повноти аргументації введення підстановки для вирішення завдань.
5. Застосування тригонометричної підстановки при вирішенні алгебраїчних завдань спрямоване на встановлення взаємозв'язку різних розділів математики, а саме: алгебри і тригонометрії. Важливо виховати в учнів сміливості і винахідливості в пошуку способів вирішення завдань не тільки в найближчому оточенні умови, але і в більш широкій, іноді несподіваної області.
Найбільш доречно організувати роботу, присвячену застосуванню тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач, на факультативних заняттях з математики. При цьому доцільно запропонувати учням для вирішення різноманітні завдання: раціональні та ірраціональні рівняння, нерівності, їх системи, завдання на відшукання найбільшого і найменшого значень функції, завдання з параметрами. Бажано створити таку роботу, яка б містила в собі підбірку з різноманітних алгебраїчних завдань, що вирішуються за допомогою тригонометричної підстановки, не обмежуючись розглядом окремого класу задач.
Мета роботи: розробити методику застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач старшими школярами на факультативних заняттях у класах з поглибленим вивченням математики.
Об'єкт дослідження: процес застосування тригонометричної підстановки як методу вирішення різноманітних алгебраїчних задач.
Предмет дослідження: організація діяльності учнів з оволодіння тригонометричної підстановки на факультативних заняттях у класах з поглибленим вивченням математики.
При дослідженні виходимо з гіпотези, що застосування методики, розробленої на основі порівняльного аналізу рішення великої кількості завдань, дозволить розвинути творчі здібності учнів і підготує їх до вступних іспитів у серйозні вузи.
Для досягнення поставленої мети та перевірки гіпотези необхідно вирішити такі завдання:
1. Виявити теоретичні основи можливості введення тригонометричної підстановки.
2. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
3. На основі проведеного порівняльного аналізу розробити методику вивчення тригонометричної підстановки при вирішенні алгебраїчних задач на факультативних заняттях з математики в старших класах з поглибленим вивченням математики.
4. Провести дослідне випробування ефективності розробленої методики.
Глава 1
Метод заміни змінної при вирішенні завдань
§ 1. Загальні положення
Перехід до нових позначень, заміна невідомих - істотний прийом і метод, який застосовується при рішенні самих різних завдань як елементарної, так і вищої математики. Дуже важливо, щоб цей прийом і метод був міцно засвоєний та освоєно у школі, так як ідея заміни змінної є наскрізною і в тому чи іншому вигляді фігурує практично у всіх розділах шкільної математики.
Існують два підходи до визначення методу заміни змінної. Якщо рівняння
де
На відміну від описаного вище метод рівносильній заміни вимагає знаходження безлічі значень змінної
Такі заміни часом істотно спрощують рішення. Заміна змінних і перехід до нових позначенням полегшують викладки і роблять громіздке вираження алгебри компактним і доступним для огляду. Ось чому слід привчати школярів при вирішенні завдань не поспішати починати перетворення: нехай вони спочатку подивляться, чи не можна записати рівняння простіше, ввівши нову змінну. При цьому не варто забувати, що, по-перше, далеко не завжди заміна буває настільки вже необхідна. По-друге, якщо доводиться вдаватися до заміни невідомою, то варто відразу підібрати її так, щоб вона вбирала в себе якомога більшу кількість неприємних деталей, що ускладнюють рішення.
Вміння вдало ввести нову змінну - найважливіший елемент математичної культури школяра. При цьому мистецтво робити заміну змінних полягає в тому, щоб побачити, яка заміна буде більш раціональною і швидше приведе до успіху.
Нова мінлива іноді очевидна, іноді кілька завуальована, але «відчувається». У більш складних випадках, для того щоб знайти вдалу заміну невідомою, потрібна додаткова творча робота, яка згодом окупається простотою і витонченістю рішення.
Вчити методом заміни, вибору вдалих нових змінних слід спеціально ще й тому, що не завжди учні можуть додуматися до нього самостійно. У таких випадках зручну підстановку бажано знати заздалегідь. Особливо важко учням уявити собі, що замість змінної можна підставити тригонометричну функцію, оскільки при цьому, як здається, алгебраїчний вираз ускладнюється. Проте відомі властивості тригонометричних функцій спрощують деякі рівняння, нерівності та їх системи, в той час як пряме алгебраїчне рішення виявляється більш складним технічно. Таким чином, тригонометричну підстановку можна назвати нестандартним методом вирішення стандартних за постановці завдань - рівнянь, нерівностей та їх систем.
§ 2. Тригонометрична підстановка
Тригонометрична підстановка є одним із способів реалізації методу заміни змінної і використовується в тих випадках, коли область визначення вихідного рівняння збігається з областю значення тригонометричної функції або включається в цю область. Вибір тієї чи іншої функції при цьому залежить від виду рівняння, нерівності, їх систем чи алгебраїчного виразу, яке потрібно спростити.
Якщо з умови задачі випливає, що допустимі значення змінної
У випадках, коли змінна може приймати будь-які дійсні значення, використовуються заміни
Рідше використовуються заміни
Коли вираз залежить від двох змінних
І останнє зауваження. Реалізувати таку підстановку не так уже й важко, головне і, напевно, найскладніше - зуміти її побачити. Тому доцільно допомогти учням навчитися розпізнавати «прикмети» тригонометричних підстановок. Зміст наступного розділу спрямовано на вироблення відповідних умінь.
Глава 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПІДСТАВЛЕННЯ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАДАЧ
§ 1. Рішення рівнянь
1.1 Ірраціональні рівняння
Ірраціональні рівняння часто зустрічаються на вступних іспитах з математики, так як з їх допомогою легко діагностується знання таких понять, як рівносильні перетворення, область визначення та інші. Методи рішення ірраціональних рівнянь, як правило, засновані на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним, яке або рівносильно вихідного ірраціонального рівняння, або є його наслідком. Найчастіше обидві частини рівняння зводять в одну і ту ж ступінь. Еквівалентність не порушується при зведенні обох частин у непарну ступінь. В іншому випадку потрібно перевірка знайдених рішень або оцінка знака обох частин рівняння. Але існують і інші прийоми, які можуть виявитися більш ефективними при вирішенні ірраціональних рівнянь. Наприклад, метод тригонометричної підстановки.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як
Покладемо
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Так як
Відповідь:
Рішення рівняння алгебраїчним способом вимагає хорошого досвіду проведення тотожних перетворень і грамотного поводження з рівносильними переходами. Але загалом обидва прийому рішення рівноцінні.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Область визначення рівняння задається нерівністю
Так як
Покладемо
Умовою
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Зведемо в квадрат рівняння першої системи сукупності, отримаємо
Нехай
Перевіркою встановлюємо, що
Від змінної
Умовою
Підставивши ці значення у вихідне рівняння, отримуємо, що
Вирішуючи аналогічно рівняння другої системи вихідної сукупності, знаходимо, що
Відповідь:
Якщо у попередньому прикладі алгебраїчне рішення і рішення за допомогою тригонометричної підстановки були рівноцінні, то в даному випадку рішення підстановкою вигідніше. При вирішенні рівняння засобами алгебри доводиться вирішувати сукупність з двох рівнянь, тобто двічі зводити в квадрат. Після цього нерівносильні перетворення виходять два рівняння четвертого ступеня з ірраціональними коефіцієнтами, позбутися яких допомагає заміна. Ще одна складність - перевірка знайдених рішень підстановкою в початкове рівняння.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як
Множник в дужках у лівій частині рівняння позитивний, права частина рівняння теж позитивна, тому множник
Так як
Нехай
Числа
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат
Введемо заміну
Другий корінь є зайвим, тому розглянемо рівняння
Так як
Відповідь:
У даному випадку алгебраїчне рішення в технічному плані простіше, але розглянути наведене рішення за допомогою тригонометричної підстановки слід обов'язково. Це пов'язано, по-перше, з нестандартністю самої підстановки, яка руйнує стереотип, що застосування тригонометричної підстановки можливо лише, коли
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як змінна
Вихідне рівняння з урахуванням проведених перетворень набуде вигляду
Так як
Нехай
Враховуючи підстановку
Вирішимо кожне рівняння сукупності окремо.
1)
Звідки
Так як
2)
Це рівняння коренів не має, так як
Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Дане рівняння легко «перетворити» на раціональне рівняння восьмому ступені зведенням обох частин вихідного рівняння в квадрат. Пошук коренів вийшло раціонального рівняння утруднений, і необхідно мати високий ступінь винахідливості, щоб впоратися з завданням. Тому доцільно знати інший спосіб розв'язання, менш традиційний. Наприклад, підстановку
Покладемо
З урахуванням перетворень рівняння
Введемо заміну
Другий корінь є зайвим, тому
Відповідь:
Якщо заздалегідь не відома ідея рішення рівняння 
Підкреслимо, що застосування тригонометричної підстановки для вирішення завдань має бути усвідомленим і виправданим. Використовувати підстановку доцільно в тих випадках, коли рішення іншим способом складніше або зовсім неможливо. Наведемо ще один приклад, який, на відміну від попереднього, простіше і швидше вирішується стандартним способом. Приклад 5. Розв'язати рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як змінна
У силу того, що
Так як
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Відповідь:
1.2 Раціональні рівняння
Тригонометрична підстановка застосовується при вирішенні раціональних рівнянь, коли рівняння не має раціональних коренів чи знайдені раціональні рішення не вичерпують усієї множини рішень рівняння.
При вирішенні ірраціональних рівнянь можливість введення тригонометричної підстановки було видно по структурі рівняння. У декількох наступних завданнях застосування методу тригонометричної підстановки не так очевидно. Ось чому перш ніж ввести підстановку, потрібно довести законність такого введення.
Приклад 1. Скільки коренів має рівняння
Вирішення цього завдання будь-яким методом починається однаково. Доведемо, що всі корені даного рівняння належать проміжку
Але тоді у вихідному рівнянні зліва стоїть твір більше восьми, а праворуч одиниця, що неможливо.
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Покладемо
Так як
Так як
Відповідь: шість коренів.
Алгебраїчне рішення
Так як вираз від правої частини рівності парне і 
і функція
Відповідь: 6 коренів.
У даному випадку можна вирішувати будь-яким способом, але якщо кількість коренів на невеликому проміжку достатньо велике, обчислення можуть виявитися громіздкими, і сам метод неефективним. У цьому випадку на допомогу приходить метод тригонометричної підстановки. Треба зауважити, що вирішити питання про кількість коренів можна за допомогою похідної, але в даному випадку таке рішення мало ефективно, тому що важко знайти нулі похідної.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Якщо для вище наведених завдань не вдається знайти нетрадиційний шлях вирішення, то все одно залишається вірогідність впоратися із завданням за допомогою стандартних шкільних міркувань, правда, витративши при цьому набагато більше часу. Це завдання позбавляє такого вибору, тому що її рішення іншим способом не представляється можливим.
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Поділимо всі члени рівняння на 2. Рівняння прийме вигляд
Доведемо, що всі корені даного рівняння за модулем не перевершують одиниці. Нехай
Покладемо
Умовою
Оскільки кубічне рівняння не може мати більше трьох різних коренів, то ми знайшли всі рішення.
Відповідь:
1.3 Показові рівняння
Наведемо приклад завдання, вирішити яке без введення тригонометричної підстановки не представляється можливим.
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Нехай
Введемо заміну
Це рівняння ми вже вирішували [1]. Його коріння
Два останніх значення менше нуля, тому нам підходить тільки
Відповідь:
§ 2. Рішення систем
У цьому параграфі запропоновані системи підвищеної складності, вирішити які, не знаючи спеціальних методів рішення, складно.
Приклад 1. Вирішити систему рівнянь
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як квадрат суми чисел
Умовою
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Нехай
Підберемо
Підбором знаходимо, що
Підставимо
Перейдемо до змінної
Підставивши отримані значення змінної
Відповідь:
Приклад 2. Скільки рішень має система рівнянь
Тут представлено так звану циклічна система рівнянь. Подібні системи часто пропонуються на вступних іспитах до ВНЗ з підвищеними вимогами по математиці [30]. Вирішити ці системи, не знаючи спеціальних методів рішення, дуже складно. У даному випадку підбором встановлюється рішення
Перепишемо систему у вигляді
Доведемо, що всі числа
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Покладемо
Умовою
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Висловимо змінну
З'ясувати кількість коренів отриманого рівняння з допомогою похідної або іншим способом надзвичайно важко, тому в даному випадку найефективніший спосіб рішення - рішення за допомогою тригонометричної підстановки.
§ 3. Доведення нерівностей
Як правило, навички рішення і докази нерівностей, за винятком квадратичних, формуються на більш низькому рівні, ніж рівнянь. Ця особливість має об'єктивну природу: теорія нерівностей складніше теорії рівнянь. Тим не менш, багато прийомів і методи розв'язання нерівностей збігаються з прийомами і методами вирішення рівнянь. У тому числі, до доведення нерівностей застосуємо метод заміни змінної. При цьому заміна змінних, що входять у нерівність, з одного боку, скорочує число змінних, а з іншого, дозволяє привести нерівність до виду, більш зручному для дослідження його властивостей.
Приклад 1. Довести, що
При
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Для будь-яких
Так як
Другий множник завжди позитивний, а перший не перевершує 0, тому весь твір не позитивно.
Алгебраїчне рішення
Виконаємо рішення за допомогою тотожних перетворень. Для цього розглянемо різницю
Обидва рішення по простоті реалізації не поступаються один одному. Рішення за допомогою тригонометричної підстановки може бути дано як один з можливих способів вирішення.
Приклад 2. Відомо, що
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як сума квадратів
Аналогічно
Алгебраїчне рішення
Алгебраїчне рішення в даному випадку буде полягати в зведенні обох частин нерівності в квадрат і виконанні тотожних перетворень.
Зазвичай нерівність
§ 4 Завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень функції.
Завдання, пов'язані з пошуком найбільшого і найменшого значень функції, неспроста користуються великою популярністю в укладачів екзаменаційних завдань: щоб вирішити це завдання, доводиться комбінувати прийоми і методи з дуже різних розділів шкільного курсу математики. Перше, що спадає на думку при вирішенні подібних завдань, - дослідити функцію на найбільше і найменше значення за допомогою похідної. Але у такого підходу є недолік: у багатьох завданнях вступних іспитів до вузів з підвищеними вимогами по математиці цей звичний шлях вирішення пов'язане зі значними технічними труднощами. В умовах конкурсу цей недолік особливо відчутний. Часто, однак, вдається позбутися від громіздких викладок, застосовуючи поняття та навички з інших розділів шкільного курсу математики. Наприклад, з тригонометрії.
Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення виразу
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Рівняння
Відповідь: найбільше значення дорівнює
Алгебраїчне рішення
Рівняння
Так як шукаємо найбільше значення виразу
Тоді найбільше значення виразу
Аналогічно знаходимо, що найменше значення виразу
Відповідь: найбільше значення дорівнює
Приклад 2. Знайти найменше та найбільше значення виразу
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Рівняння
Маємо, що сума квадратів
Відповідь: найменше значення
Алгебраїчне рішення
Іноді рівняння з параметрами виникають при вирішенні завдань, здавалося б, не мають до них ніякого відношення. Якщо потрібно знайти, наприклад, найменше значення функції
Перейдемо до системи
тобто з'ясуємо, за яких значеннях параметра
Отримали однорідне рівняння відносно змінних
Щоб це рівняння мало рішення необхідно і достатньо, щоб його дискримінант був неотрицатель.
Отже, дана система рівносильна системі
Покажемо, що при
Звернемо увагу на те, що в проміжку
У даному випадку рішення за допомогою тригонометричної підстановки простіше як в технічному, так і в ідейному сенсі. Не знаючи заздалегідь ідеї другого способу, важко здогадатися звести задачу про знаходження найбільшого і найменшого значень виразу до розв'язання системи з параметром.
Приклад 3. Знайти найбільше і найменше значення виразу
Як у попередньому прикладі, в цьому випадку самий зручний підхід - тригонометрична підстановка. Рішення системи, що складається з двох нерівностей та одного рівняння з параметром, досить складно.
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Покладемо
Так як безліч значень виразу
Відповідь: найменше значення
Приклад 4. Серед всіх рішень системи
Знайдіть такі, при яких вираз
Перепишемо систему у вигляді
Так як сума квадратів чисел
Запишемо вираз
Найбільше значення виразу
Знайдемо
Відповідь:
Алгебраїчне рішення
Перепишемо вихідну систему у вигляді
Складемо рівності отриманої системи
Порівняємо ліві і праві частини отриманого рівності та нерівності системи, отримаємо
Розглянемо квадрат вирази
Найбільше значення виразу
Підставимо отриманий вираз
Так як необхідно знайти найбільше значення виразу
Так як
Відповідь:
Тут рішення за допомогою тригонометричної підстановки компактніше, швидше призводить до результату. Єдиний і важливий момент, на який слід вказати учням, є необхідність обгрунтування введення тригонометричної підстановки. Той факт, що, наприклад,
З малюнка видно, що
0 |
2 |
2 |
а |
b |
0 |
§ 5. Рішення задач з параметрами
Рішення задач з параметрами - один з найважчих розділів шкільного курсу математики. Тут, крім використання певних алгоритмів розв'язання рівнянь або нерівностей, доводиться думати про вдалу класифікації, стежити за тим, щоб не пропустити багато тонкощів. Рівняння та нерівності з параметрами - це тема, на якій перевіряється справжнє розуміння учнем матеріалу. Тому, наприклад, на вступних іспитах до ВНЗ з підвищеними вимогами по математиці рівняння і нерівності з параметрами часто включають у варіанти письмових робіт.
Приклад 1. Вирішіть і досліджуйте рівняння
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Так як
Якщо
Нехай
Тобто для того щоб рівняння мало корінь необхідно і достатньо, щоб
Значить, якщо
Нехай
Якщо
Відповідь: Якщо
Якщо
Якщо
Алгебраїчне рішення
Нехай
Нехай
Відповідь: Якщо
Якщо
Якщо
У даному випадку обидва рішення рівноцінні, можна вирішувати будь-яким способом. Зате вже в наступному прикладі рішення за допомогою тригонометричної підстановки простіше.
Приклад 2. При яких а нерівність
має рішення [13].
Нерівність
Рішення за допомогою тригонометричної підстановки
Покладемо
Оцінимо вираз
Найменше значення виразу
Відповідь: при
Алгебраїчне рішення
Якщо
Значить, при
Поділимо чисельник і знаменник на
Введемо заміну
Знайдемо найменше значення виразу
Тобто найменше значення виразу
Відповідь: при
Для даного завдання самий зручний метод рішення - рішення за допомогою тригонометричної підстановки. У другому випадку виникає проблема з тим, щоб знайти найменше значення виразу
Глава 3
Дослідне викладання теми «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач»
на факультативних заняттях з математики
Одним із завдань дипломної роботи є дослідне випробування ефективності розробленої методики вивчення тригонометричної підстановки як методу розв'язання алгебраїчних рівнянь, нерівностей, їх систем, а також завдань на відшукання найбільшого і найменшого значень функції. Це випробування застосовується для об'єктивної і достовірної перевірки гіпотези і передбачає одночасне використання цілої низки методів, наприклад, спостереження, диагностирующих контрольних робіт та інших.
Тригонометрична підстановка як метод розв'язання алгебраїчних задач розглядається в курсі математики для класів з поглибленим вивченням предмета в плані ознайомлення [57]. Але з огляду на вагомість матеріалу для розвитку творчих здібностей учнів і освоєння ними ефективного прийому та методу вирішення складних конкурсних завдань доцільно організувати більш детальну роботу з тригонометричної підстановкою. Тому виникає необхідність у розробці і проведенні факультативних занять, присвячених даній темі.
Дослідне викладання теми «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» було здійснено у 2005 році в 10 «Б» класі Фізико-математичного ліцею. Цілі досвідченого викладання: дослідження можливості введення на факультативних заняттях у класи з поглибленим вивченням математики тригонометричної підстановки і перевірка ефективності розробленої методики викладання. Етапи роботи:
1. Розробка факультативного курсу на тему: «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» з учнями класів з поглибленим вивченням математики.
2. Проведення розробленого факультативного курсу.
3. Проведення діагностуючої контрольної роботи.
4. Проведення діагностуючої домашньої контрольної роботи.
5. Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.
Етап 1. Розробка факультативного курсу на тему: «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» »з учнями класів з поглибленим вивченням математики.
Факультативний курс був розроблений на основі порівняльного аналізу рішення великої кількості завдань традиційним способом і з допомогою тригонометричної підстановки. Даний курс складається з п'яти занять, які бажано провести в 10 класі відразу після вивчення тригонометрії або в 11 класі в зв'язку з підготовкою учнів до підсумкової атестації та вступу до вузів. У процесі розробки і проведення факультативних занять були поставлені наступні цілі:
1. Продовжити вивчення тригонометричної підстановки, але вже на факультативних заняттях.
2. Поглибити знання про методи розв'язання алгебраїчних задач.
3. Показати застосування різних методів рішення.
4. Провести порівняльний аналіз цих рішень.
5. Сприяти формуванню в учнів уміння бачити раціональний метод розв'язування математичних задач і обгрунтовувати його застосування.
6. Показати, як апарат тригонометрії може бути застосований для вирішення задач алгебри, посилити зв'язки між алгеброю і тригонометрією.
7. Розвиток логічного мислення.
8. Формування наполегливості, цілеспрямованості і працьовитості через рішення складних конкурсних завдань.
Етап 2. Проведення розробленого факультативного курсу.
Розроблені заняття проводилися один раз на тиждень. Усього було проведено 5 занять. Нижче пропонується розробка одного заняття. З розробками інших занять можна ознайомитися в додатку до роботи.
Заняття № 2.
Тема: застосування тригонометричної підстановки при вирішенні рівнянь.
Мета:
1. Продовжити вивчення застосування тригонометричної підстановки для вирішення ірраціональних рівнянь у випадку, коли змінна
2. Виявити види раціональних рівнянь, для вирішення яких застосовується тригонометрична підстановка.
3. Провести порівняльний аналіз рішення раціональних рівнянь за допомогою тригонометричної підстановки і без неї, вибрати найбільш раціональний метод рішення.
4. Розглянути застосування тригонометричної підстановки як одного із способів вирішення завдань з параметрами.
Зміст:
1. Розв'язати рівняння
Перед початком вирішення завдання бажано обговорити з учнями, які можливі значення може приймати змінна
Перед тим, як приступити до розгляду раціональних рівнянь, бажано згадати з учнями, які проблеми виникають при вирішенні раціональних рівнянь. По-друге, слід звернути увагу учнів, що вирішення цих завдань слід починати з дослідження того, які значення може прийняти мінлива
2. З'ясувати, скільки коренів має рівняння
Організувати роботу з даними рівнянням можна як у попередньому випадку, розділивши клас на дві групи, вирішальних алгебраїчним способом і за допомогою тригонометричної підстановки. Після чого доцільно організувати порівняльний аналіз обох способів вирішення.
3. Розв'язати рівняння
4. Скільки рішень має рівняння в залежності від параметра
На цьому прикладі бажано дати учням ще один спосіб вирішення завдань з параметрами - за допомогою тригонометричної підстановки і обговорити, як за структурою рівняння з параметром можна зрозуміти, що метод тригонометричної підстановки можна застосувати до даного рівняння.
Домашнє завдання:
1. Розв'язати рівняння
2. З'ясувати, скільки коренів має рівняння
Література: [3], [4], [12], [13], [23] - [25], [37] - [40], [45], [55] - [57].
Етап 3. Проведення діагностуючої контрольної роботи.
Діагностує контрольна робота була організована після проведення всіх занять, передбачених факультативом, і зайняла 1 урок. Учням було запропоновано для обов'язкового рішення 3 завдання і одне завдання було винесено на додаткову оцінку. При цьому школярам була надана можливість самостійно вибрати метод вирішення кожного завдання. Цілі контрольної роботи:
1. Виявити ступінь засвоєння учнями матеріалу.
2. Визначити розуміння необхідності обгрунтування введення тригонометричної підстановки.
3. Порівняти ефективність вирішення за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
4. Виявити той матеріал і ті завдання, які викликають найбільші труднощі в учнів.
План:
1. Організація учнів на виконання контрольної роботи.
2. Виконання роботи за двома варіантами.
Зміст:
I Варіант
1. Розв'язати рівняння
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед усіх рішень (а, b, с, d) системи знайти такі, при яких вираз а + з приймає найбільше значення
4. Скільки рішень має рівняння в залежності від параметра
II Варіант
1. Розв'язати рівняння
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед усіх рішень (а, b, с, d) системи знайти такі, при яких вираз а + з приймає найбільше значення
4. Скільки рішень має рівняння в залежності від параметра
Оцінювання: Правильно виконане і аргументоване рішення оцінювалося знаком «+». Правильно виконане рішення з частковим обгрунтуванням введення тригонометричної підстановки - знаком «
Результати: контрольна робота була написана 21 учнем класу з 22. Почнемо з розбору обов'язкової частини контрольної роботи.
| Прізвище | 1 завдання | 2 завдання | 3 завдання | |
| 1 | Бакулін | + | ||
| 2 | Бізяев | |||
| 3 | Вахрушев | |||
| 4 | Вітвіцький | + | + Д | |
| 5 | Громазін | + | ||
| 6 | Давидюк | + | ||
| 7 | Жічкіна | + | + | * |
| 8 | Журавльов | + | ||
| 9 | Касьянов | + | ||
| 10 | Колупаєва | * | ||
| 11 | Коновалов | |||
| 12 | Коробейников | + | + Д | |
| 13 | Макарова | + | ||
| 14 | Новосьолов | + | * | |
| 15 | Овчинников | |||
| 16 | Прокашев | + | ||
| 17 | Сероглазов | * | * | |
| 18 | Скачілова | + | ||
| 19 | Хохлов | |||
| 20 | Черняк | + | + Д | |
| 21 | Шильников | - | ||
| Відсоток учнів, вірно виконали завдання | 57% | 100% | 67% | |
| Відсоток учнів, що вибрали тригонометричну підстановку | 100% | 100% | 86% | |
| Відсоток учнів, вірно вирішили за допомогою тригонометричної підстановки [2] | 57% | 100% | 67% | |
| Відсоток учнів, обосновавших введення тригонометричної підстановки | 100% | 14% | 22% | |
| Відсоток учнів, вірно вирішили іншим способом | - | - | 100% | |
Друге і третє завдання були присвячені пошуку найбільшого і найменшого значень функції.
Друге завдання всіма учнями було вирішено вірно, при цьому в якості методу рішення був обраний метод тригонометричної підстановки. Але на відміну від рішення першого завдання, у другому тільки двоє учнів дали аргументоване рішення з повним обгрунтуванням можливості введення тригонометричної підстановки. В одній роботі ця можливість не отримала достатньо повного обгрунтування. Решта вісімнадцять учнів приступили до вирішення без доказу можливості введення заміни, причому з них тільки один вірно вказав, що
До рішення третього завдання приступили двадцять учнів з двадцяти одного. З них троє вирішували алгебраїчним способом і повністю впоралися з рішенням. Один учень почав рішення алгебраїчним способом, отримав проміжний результат, який використовував при вирішенні за допомогою тригонометричної підстановки, але все рішення не було доведено до кінця. Шістнадцять учнів застосували метод тригонометричної підстановки для вирішення, але в жодній з цих робіт не було обгрунтування введення цієї підстановки, і тільки четверо вказали, що
Перейдемо до розбору додаткового завдання. Воно містило рівняння з параметром, для якого потрібно було дослідити кількість рішень в залежності від параметра. З двадцяти одного учня до завдання на додаткову оцінку приступили двадцять чоловік, з них половина вірно впоралася з ним. Семеро з вірно вирішили учнів спиралися на графічну ілюстрацію, троє - використовували алгебраїчний підхід. З не вирішили десяти чоловік семеро призвели вихідне рівняння з допомогою тригонометричної підстановки до виду
Етап 3. Проведення діагностуючої домашньої контрольної роботи.
Домашня контрольна робота була проведена після завершального четвертого заняття перед написанням підсумкової контрольної роботи.
Зміст:
1. Розв'яжіть рівняння
2. Розв'яжіть рівняння
3. Розв'яжіть рівняння
4. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу
Результати:
| Прізвище | 1 завдання | 2 завдання | 3 завдання | 4 завдання | |
| 1 | Бакулін | + Д | + | + | |
| 2 | Бізяев | + Д | + | ||
| 3 | Вітвіцький | + | + До | + | + |
| 4 | Громазін | + | + | + | - |
| 5 | Давидюк | + | + | + | * |
| 6 | Жічкіна | -З | + | + | - |
| 7 | Журавльов | + | + | + | * |
| 8 | Коновалов | + | + | + | + |
| 9 | Коробейников | + З | + | + | |
| 10 | Макарова | + | + | + | |
| 11 | Новосьолов | + | + | - | * |
| 12 | Овчинников | + | + | + | |
| 13 | Прокашев | + | + | + | + |
| 14 | Сероглазов | + Д | + | + | * |
| 15 | Скачілова | + | + | + | |
| 16 | Хохлов | + Д | + | + | + |
| 17 | Черняк | + З | + | + | |
| 18 | Шильников | + | + | + | * |
| Відсоток учнів, вірно виконали завдання | 94% | 100% | 83% | 89% | |
| Відсоток учнів, що вибрали тригонометричну підстановку | 72% | 100% | 100% | 100% | |
| Відсоток учнів, вірно вирішили за допомогою тригонометричної підстановки | 92% | 100% | 83% | 89% | |
| Відсоток учнів, обосновавших введення тригонометричної підстановки | 100% | 100% | 100% | 56% | |
| Відсоток учнів, вірно вирішили іншим способом | 87,5% | - | - | - | |
| Відсоток учнів, які вирішували двома способами | 17% | 0% | 0% | 0% | |
Одним учням був запропонований інший варіант тригонометричної підстановки
але саме рішення виявилося більш громіздким.
З другим завданням впоралися всі учні.
У третьому завданні помилки виникли у трьох учнів з вісімнадцяти і були пов'язані з неправильним відбором коренів.
Знову найбільші труднощі викликало завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень виразу. Навіть серед тих, хто отримав вірну відповідь, деякі обгрунтували введення тригонометричної підстановки.
Етап 4. Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.
Результати контрольної і домашньої контрольної робіт можна представити у вигляді діаграм.
Відсоток учнів, що вибрали тригонометричну підстановку
В основному як методу розв'язання запропонованих алгебраїчних завдань учні вибирали метод тригонометричної підстановки. Іншим способом вирішували, якщо завдання полягало в тому, щоб знайти найбільше значення виразу при заданих в системі умовах (як в контрольній роботі), або якщо було рекомендовано вирішувати іншим способом (як в домашній контрольної роботи).
Відсоток учнів, вірно впоралися з завданнями
З діаграм видно, що найбільші труднощі викликали в учнів завдання двох типів. По - перше, завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень виразу. По - друге, ірраціональні рівняння, область допустимих значень яких можна представити нерівністю
Відсоток учнів, обосновавших введення тригонометричної підстановки
У всіх завданнях, де учням було запропоновано вирішити ірраціональне рівняння, тригонометрична підстановка була обгрунтована. Гірше було з обгрунтуванням введення тригонометричної підстановки, якщо мова йшла про двох змінних. У цьому випадку учні, як правило, приступали до вирішення, доводили його до вірної відповіді, але не обгрунтовували законність виробленої заміни.
Тому що тільки в двох випадках (в одному завданні з контрольної і в одному завданні з домашньої контрольної роботи) учні запропонували інше рішення без використання тригонометричної підстановки
Порівняємо відсоток учнів, які вирішили вірно за допомогою тригонометричної підстановки і без неї
Рішення більш звичним і відпрацьованим способом для учнів виявилося ефективнішим, ніж за допомогою введення тригонометричної підстановки. І це не дивно. Тема «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» є досить складною, мова йде про її розгляд на факультативних заняттях тільки в класах з поглибленим вивченням математики. П'ять факультативних занять для того щоб учні оволоділи цим методом, безумовно, мало, про що свідчать результати. Але з огляду на те, що застосування тригонометричної підстановки може надати істотну допомогу у вирішенні деяких класів задач (наприклад, ірраціональних рівнянь, задач на знаходження найбільшого та найменшого значень функції та інших), бажано продовжити роботу з учнями над оволодінням цим методом і повернутися до нього в кінці 11 класу. На користь цього говорить ще й той факт, що при вирішенні запропонованих завдань учні вибирали саме цей спосіб рішення для отримання відповіді. Особливо вдало учні використовували заміну при вирішенні ірраціональних рівнянь, бачили можливість введення тригонометричної підстановки і обгрунтовували це введення. Сама заміна стала цікавою для учнів не тільки тим, що дозволила вирішити непрості конкурсні приклади, але і вказала на зв'язок між алгеброю і тригонометрією, показала, що введення тригонометричної підстановки не тільки не ускладнює рішення, а в деяких випадках істотно спрощує його, тим самим підвищуючи значимість самої тригонометрії в очах учнів.
Висновок
При проведенні дослідження були поставлені та вирішені наступні завдання:1. Досліджено теоретичні основи можливості введення тригонометричної підстановки.
2. Проведено роботу з підбору і поєднання в одному джерелі рішень за допомогою тригонометричної підстановки різноманітних алгебраїчних завдань: рівнянь, нерівностей, їх систем, завдань з параметрами та завдань на відшукання найбільшого і найменшого значень функції. Робота включає в себе завдання, вирішення яких за допомогою тригонометричної підстановки і без неї рівноцінні, завдання, які не можуть бути вирішені стандартними алгебраїчними прийомами без застосування тригонометричної підстановки і завдання, які вирішуються без тригонометричної підстановки простіше.
3. Проведено порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї. Метод тригонометричної підстановки розглянуто в багатьох джерелах з математики, в тому числі [3] - [6], [9] - [14], [16], [18], [22] - [25], [29] - [ 32], [37] - [39], [42] - [45], [47], [49], [51], [57]. Але практично в жодному з них не був проведений порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї, і практично немає джерел, в яких була б представлена можливість застосування тригонометричної підстановки для вирішення великого класу задач.
4. На основі проведеного порівняльного аналізу була розроблена методика вивчення тригонометричної підстановки при вирішенні алгебраїчних задач на факультативних заняттях з математики в старших класах з поглибленим вивченням математики.
5. Проведено дослідне випробування ефективності розробленої методики в 10 класі ФМЛ.
Дослідна робота показала, що введення факультативного курсу «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» у класи з поглибленим вивченням математики виправдано. До складу діагностуючої контрольної роботи, яка була проведена на завершальному занятті факультативного курсу, були включені завдання, які допускали як алгебраїчний спосіб вирішення, так і рішення за допомогою тригонометричної підстановки. Школярам була надана свобода вибору методу вирішення кожного завдання. Результати роботи показали, що учні без особливих зусиль виділяють завдання, в яких можливо запровадити тригонометричну підстановку; застосовують її для вирішення важких і дуже важких конкурсних завдань; здійснюють порівняння і вибір найбільш раціонального способу розв'язання. А значить, гіпотеза, зроблена на початку дипломної роботи, підтвердилася. Введення матеріалу, пов'язаного з тригонометричної підстановкою, на факультативних заняттях у класах з поглибленим вивченням математики сприяє розвитку творчих здібностей учнів та готує їх до вступних іспитів у вузи з підвищеними вимогами до математики. Єдине, над чим ще можна попрацювати - грамотне обгрунтування введеної заміни.
Література
1. Алгебра і математичний аналіз. 10 клас: Навчальний посібник для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики / Н. Я. Віленкін, О. С. Івашов-Мусатов, С. І. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001. - С. 335.
2. Алгебра і математичний аналіз. 11 клас: Навчальний посібник для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики / Н. Я. Віленкін, О. С. Івашов-Мусатов, С. І. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001. - С. 288.
3. Алексєєв А. Тригонометричні підстановки / А. Алексєєв, Л. Курляндчик / / Квант. - № 2. - 1995. - С. 40-42.
4. Балаян Е. Н. Репетитор з математики для вступників до вузів / Е. Н. Балаян. - Ростов-на-Дону: Изд-во Фенікс, 2003. - С. 736.
5. Болтянский В. Г. Лекції і завдання елементарної математики / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. І. Шабунін. - М.: Изд-во Наука, 1972. - С. 592.
6. Вавілов В. В. Завдання з математики. Алгебра / В. В. Вавілов, І. І. Мельников, С. М. Олехнік, П. І. Пасіченко. - М.: Наука, 1988. - С. 439.
7. Василевський А. Б. Методи рішення задач / А. Б. Василевський. - Мінськ: Вишейшая школа, 1974. - С. 240.
8. Василевський А. Б. Навчання вирішення завдань: Навчальний посібник для педагогічних інститутів / А. Б. Василевський. - Мінськ: Вишейшая школа, 1988. - С. 255.
9. Вороний О. М. П'ять способів докази одного нерівності / А. М. Вороний / / Математика в школі. - № 4. - 2000. - С. 12.
10. Вороний О. М. Циклічні системи рівнянь / А. М. Вороний / / Математика в школі. - № 7. - 2003. - С. 71-77.
11. Всеросійські математичні олімпіади школярів: Книга для учнів / Г. М. Яковлєв, Л. П. Купцов, С. В. Резніченко, П. Б. гусятником. - М.: Просвещение, 1992. - С. 383.
12. Горнштейн П. І. Іспит з математики та його підводні рифи / П. І. Горнштейн, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - М.: Ілекса, 2004. - С. 236.
13. Горнштейн П. І. Завдання з параметрами / П. І. Горнштейн, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - М.: Ілекса, Харків: Гімназія, 2002. - С. 336.
14. Горнштейн П. І. Тригонометрія допомагає алгебри / П. І. Горнштейн. - М.: Бюро Квантум, 1995. - С. 100-103. - Додаток до ж. «Квант», № 3 / 95.
15. Громов О. І. Математика для вступників до вузів. Методи розв'язання задач з елементарної математики та початків аналізу / А. І. Громов, В. М. Савчин. - М.: Изд-во РУДН Народна Компанія Євразійський регіон, 1997. - С. 264.
16. Дорофєєв Г. В. Посібник з математики для вступників до вузів. Вибрані питання елементарної математики / Г. В. Дорофєєв, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. - М.: Просвещение, 1976. - С. 640.
17. Єпіфанова Т. М. Відшукання екстремальних значень функцій різними способами / Т. Н. Єпіфанова / / Математика в школі. - № 4. - 2000. - С. 52-55.
18. Зарубіжні математичні олімпіади / С. В. Конягин, Г. А. Тоноян, І. Ф. Шаригін. - М.: Наука, 1987. - С. 416.
19. Канін Є. С. Навчальні математичні задачі: Навчальний посібник / Є. С. Канін. - К.: Вид-во ВятскогоГГУ, 2003. - С. 191.
20. Колягін Ю. М. Завдання у навчанні математики / Ю. М. Колягін. - М.: Просвещение, 1977. - С. 143.
21. Лапушкіна Л. І. Системи алгебраїчних рівнянь / Л. І. Лапушкіна, М. І. Шабунін / / Математика в школі. - № 6. - 1998. - С. 22-26.
22. Махров В. Г. Новий репетитор з математики для старшокласників та абітурієнтів / В. Г. Махров, В. М. Махрова. - Ростов-на-Дону: Изд-во Фенікс, 2004. - С. 544.
23. Мельников І. І. Як розв'язувати задачі з математики на вступних іспитах / І. І. Мельников, І. М. Сергєєв. - М.: Изд-во Московського університету, 1990. - С. 303.
24. Мерзляк А. Г. Тригонометрія: Задачник по шкільному курсу. 8-11 клас / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Є. М. Рабінович. - М.: АСТ - ПРЕС: Магістр, 1998. - С. 655.
25. Мерзляк А. Г. Несподіваний крок чи сто тринадцять красивих задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - Київ: Агрофірма Олександрія, 1993. - С. 59.
26. Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика. Навчальний посібник для студентів пед. ін-тів по спец. 2104 «Математика» і 2105 «Фізика» / Укл. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - С. 336.
27. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика: Навчальний посібник для студентів пед. ін-тів по фіз.-мат. Спец. / Укл. В. І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987. - С. 414.
28. Мордкович А. Г. Бесіди з учителями математики / О. Г. Мордкович. - М.: Школа - Прес, 1995. - С. 272.
29. Морозова О. А. Міжнародні математичні олімпіади. Завдання, підсумки, рішення. Посібник для учнів / Є. А. Морозова. - М.: Просвещение, 1976. - С. 288.
30. Московський державний університет / / Математика в школі. - № 10. - 2002. - С. 28-43.
31. Нараленков М. І. Вступний іспит з математики. Алгебра: як вирішувати завдання: Навчально-практичний посібник / М. І. Нараленков. - М.: Изд-во Іспит, 2003. - С. 448.
32. Олехнік С. М. Нестандартні методи розв'язання рівнянь і нерівностей: Довідник / С. М. Олехнік, М. К. Потапов, П. І. Пасіченко. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - С. 143.
33. Петров В. В. Нестандартні задачі / В. В. Петров, Е. В. Єлісєєва / / Математика в школі. - № 8. - 2001. - С. 56-59.
34. Писаревський Б. М. Завдання про екстремуму / Б. М. Писаревський / / Математика в школі. - № 5. - 2004. - С. 47-51.
35. Письмовий Д. Т. Математика для старшокласників / Д. Т. Письменний. - М.: Айріс, Рольф, 1996. - С. 281.
36. Пойа Д. Навчання через завдання / Д. Пойа / / Математика в школі. - № 3. - 1970. - С. 89-91.
37. Потапов М. К. Готуємося до іспитів з математики: Навчальний посібник для вступників до вузів і старшокласників / М. К. Потапов, С. М. Олехнік, Ю. В. Нестеренко. - М.: Науково - технічний центр «Університетський»: АСТ - Прес, 1997. - С. 352.
38. Потапов М. К. Конкурсні завдання з математики / М. К. Потапов, С. М. Олехнік, Ю. В. Нестеренко. - М.: Фізматліт, 2001. - С. 400.
39. Потапов М. К. Математика. Методи вирішення завдань. Для вступників у вузи: Навчальний посібник / М. К. Потапов, С. М. Олехнік, Ю. В. Нестеренко. - М.: Дрофа, 1995. - С. 336.
40. Потапов, М. К. Міркування з числовими значеннями при вирішенні систем рівнянь / М. К. Потапов, А. В. Шовкун / / Математика в школі. - № 3. - 2005. - С. 24-29.
41. Програми для загаль. Шкіл, гімназіїв, ліцеїв: Математика. 5-11 клас / Укл. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Міндюк. - М.: Дрофа, 2002 .- С. 320.
42. Саакян С. М. Завдання з алгебри та початків аналізу для 10-11 класів / С. М. Саакян, Гольдман А. М., Денисов Д. В. - М.: Просвещение, 1990. - С. 256.
43. Смоляков А. М. Тригонометричні підстановки в рівняння і нерівності / О. М. Смоляков / / Математика в школі. - № 1. - 1996. - С.4.
44. Супрун В. П. Вибрані задачі підвищеної складності з математики / В. П. Супрун. - Мінськ: Полум'я, 1998. - С. 108.
45. Терешин Н. А. 2000 задач з алгебри та початків аналізу. 10 клас / Н. А. Терешин, Т. М. Терешина. - М.: Акваріум, 1998. - С. 256.
46. Ткачук В. В. Математика - абітурієнту: Все про вступні іспити до вузів. Том 1 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 415.
47. Ткачук В. В. Математика - абітурієнту: Все про вступні іспити до вузів. Том 2 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 414.
48. Фарке А. В. Математичні олімпіади в школі. 5-11 клас / А. В. ФАРК. - М.: Айрис-пресс, 2002. - С. 160.
49. Фірстова Н. І. Метод заміни змінної при вирішенні алгебраїчних рівнянь / М. І. Фірстова / / Математика в школі. - № 5. - 2002. - С. 68-71.
50. Фрідман Л. І. Як навчитися вирішувати задачі / Л. І. Фрідман, Є. М. Турецький. - М.: Московський психолого-соціальний інститут, 1999. - С. 240.
51. Черкасов О. Ю. Математика: Методичні вказівки для вступників до вузів / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: УНЦ ДО МДУ, 1996. - С. 368.
52. Черкасов О. Ю. Математика: Швидка допомога абітурієнтам / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: Навчальний центр Московський ліцей, 1995. - С. 348.
53. Шабунін М. І. Математика для вступників до вузів. Нерівності і системи нерівностей / М. І. Шабунін. - М.: Акваріум, 1997. - С. 256.
54. Шабунін М. І. Математика для вступників до вузів. Рівняння і системи рівнянь / М. І. Шабунін. - М.: Акваріум, 1997. - С. 272.
55. Шаригін І. Ф. Математика для вступників у вузи: Навчальний посібник / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 2000. - С. 416.
56. Шаригін І. Ф. Математика для школярів старших класів / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 1995. - С. 486.
57. Шаригін І. Ф. Рішення задач: Навчальний посібник для 10 класу загальноосвітніх установ / І. Ф. Шаригін. - М.: Просвещение, 1994. - С. 350.
Додаток
Заняття № 1
Тема: застосування тригонометричної підстановки для вирішення ірраціональних рівнянь.
Цілі:
1. Згадати теоретичні основи введення тригонометричної підстановки.
2. Розглянути застосування тригонометричної підстановки для вирішення ірраціональних рівнянь у випадку, коли безліч значень змінної
3. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
Зміст:
1. Розв'язати рівняння
2. Розв'яжіть рівняння
3. Розв'язати рівняння
4. Розв'язати рівняння
Домашнє завдання:
1. Розв'язати рівняння
2. Розв'язати рівняння
3. Розв'язати рівняння
Література: [3], [4], [12], [14], [23] - [25], [31], [32], [37] - [39], [43], [44], [47] - [51], [57].
Заняття № 3
Тема: застосування тригонометричної підстановки для розв'язання систем рівнянь.
Цілі:
1. Розглянути застосування тригонометричної підстановки для вирішення складних, олімпіадних систем.
2. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї, де це можливо.
3. Привести приклад системи, вирішити яку без тригонометричної підстановки не можливо.
Зміст:
1. Вирішити систему рівнянь
2. Вирішити систему
3. З'ясувати, скільки рішень має система рівнянь
4. При яких значеннях параметра система має рішення
Домашнє завдання:
1. Вирішити систему
2. Вирішити систему
3. Скільки рішень має система рівнянь
Література: [3], [6] - [8], [10], [12], [14], [18], [24], [30], [43].
Заняття № 4
Тема: застосування тригонометричної підстановки для вирішення завдань на відшукання найбільшого і найменшого значень функції.
Цілі:
1. Згадати основні методи розв'язання задач на відшукання найбільшого і найменшого значень функції.
2. Показати, як метод тригонометричної підстановки застосовується для розв'язання задач на знаходження найбільшого та найменшого значень функції.
3. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
Зміст:
1. Знайти найбільше і найменше значення виразу
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед всіх рішень системи знайдіть такі, при яких вираз
4. З'ясувати, при яких значеннях параметра нерівність має рішення
Домашнє завдання:
1. Знайти найбільше і найменше значення виразу
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед всіх рішень системи знайти такі, при кожному з яких вираз
Література: [4], [14], [22], [24], [31], [42].
41. Програми для загаль. Шкіл, гімназіїв, ліцеїв: Математика. 5-11 клас / Укл. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Міндюк. - М.: Дрофа, 2002 .- С. 320.
42. Саакян С. М. Завдання з алгебри та початків аналізу для 10-11 класів / С. М. Саакян, Гольдман А. М., Денисов Д. В. - М.: Просвещение, 1990. - С. 256.
43. Смоляков А. М. Тригонометричні підстановки в рівняння і нерівності / О. М. Смоляков / / Математика в школі. - № 1. - 1996. - С.4.
44. Супрун В. П. Вибрані задачі підвищеної складності з математики / В. П. Супрун. - Мінськ: Полум'я, 1998. - С. 108.
45. Терешин Н. А. 2000 задач з алгебри та початків аналізу. 10 клас / Н. А. Терешин, Т. М. Терешина. - М.: Акваріум, 1998. - С. 256.
46. Ткачук В. В. Математика - абітурієнту: Все про вступні іспити до вузів. Том 1 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 415.
47. Ткачук В. В. Математика - абітурієнту: Все про вступні іспити до вузів. Том 2 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 414.
48. Фарке А. В. Математичні олімпіади в школі. 5-11 клас / А. В. ФАРК. - М.: Айрис-пресс, 2002. - С. 160.
49. Фірстова Н. І. Метод заміни змінної при вирішенні алгебраїчних рівнянь / М. І. Фірстова / / Математика в школі. - № 5. - 2002. - С. 68-71.
50. Фрідман Л. І. Як навчитися вирішувати задачі / Л. І. Фрідман, Є. М. Турецький. - М.: Московський психолого-соціальний інститут, 1999. - С. 240.
51. Черкасов О. Ю. Математика: Методичні вказівки для вступників до вузів / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: УНЦ ДО МДУ, 1996. - С. 368.
52. Черкасов О. Ю. Математика: Швидка допомога абітурієнтам / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: Навчальний центр Московський ліцей, 1995. - С. 348.
53. Шабунін М. І. Математика для вступників до вузів. Нерівності і системи нерівностей / М. І. Шабунін. - М.: Акваріум, 1997. - С. 256.
54. Шабунін М. І. Математика для вступників до вузів. Рівняння і системи рівнянь / М. І. Шабунін. - М.: Акваріум, 1997. - С. 272.
55. Шаригін І. Ф. Математика для вступників у вузи: Навчальний посібник / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 2000. - С. 416.
56. Шаригін І. Ф. Математика для школярів старших класів / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 1995. - С. 486.
57. Шаригін І. Ф. Рішення задач: Навчальний посібник для 10 класу загальноосвітніх установ / І. Ф. Шаригін. - М.: Просвещение, 1994. - С. 350.
Додаток
Заняття № 1
Тема: застосування тригонометричної підстановки для вирішення ірраціональних рівнянь.
Цілі:
1. Згадати теоретичні основи введення тригонометричної підстановки.
2. Розглянути застосування тригонометричної підстановки для вирішення ірраціональних рівнянь у випадку, коли безліч значень змінної
3. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
Зміст:
1. Розв'язати рівняння
2. Розв'яжіть рівняння
3. Розв'язати рівняння
4. Розв'язати рівняння
Домашнє завдання:
1. Розв'язати рівняння
2. Розв'язати рівняння
3. Розв'язати рівняння
Література: [3], [4], [12], [14], [23] - [25], [31], [32], [37] - [39], [43], [44], [47] - [51], [57].
Заняття № 3
Тема: застосування тригонометричної підстановки для розв'язання систем рівнянь.
Цілі:
1. Розглянути застосування тригонометричної підстановки для вирішення складних, олімпіадних систем.
2. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї, де це можливо.
3. Привести приклад системи, вирішити яку без тригонометричної підстановки не можливо.
Зміст:
1. Вирішити систему рівнянь
2. Вирішити систему
3. З'ясувати, скільки рішень має система рівнянь
4. При яких значеннях параметра система має рішення
Домашнє завдання:
1. Вирішити систему
2. Вирішити систему
3. Скільки рішень має система рівнянь
Література: [3], [6] - [8], [10], [12], [14], [18], [24], [30], [43].
Заняття № 4
Тема: застосування тригонометричної підстановки для вирішення завдань на відшукання найбільшого і найменшого значень функції.
Цілі:
1. Згадати основні методи розв'язання задач на відшукання найбільшого і найменшого значень функції.
2. Показати, як метод тригонометричної підстановки застосовується для розв'язання задач на знаходження найбільшого та найменшого значень функції.
3. Провести порівняльний аналіз розв'язання задач за допомогою тригонометричної підстановки і без неї.
Зміст:
1. Знайти найбільше і найменше значення виразу
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед всіх рішень системи знайдіть такі, при яких вираз
4. З'ясувати, при яких значеннях параметра нерівність має рішення
Домашнє завдання:
1. Знайти найбільше і найменше значення виразу
2. Знайти найбільше і найменше значення виразу
3. Серед всіх рішень системи знайти такі, при кожному з яких вираз
Література: [4], [14], [22], [24], [31], [42].
[1] Приклад 2 пункту 1.2 Раціональні рівняння
[2] Тут і далі відсоток підраховується від кількості учнів, що вибрали зазначений спосіб вирішення